🎲 Про кубик Рубика и группы 🎲
Некоторые ребята, изучая абстрактную алгебру, думают, что она не имеет применений на практике. Мне хотелось бы показать одно интересное применение теории групп — раздела общей алгебры.
Рассмотрим стандартный кубик Рубика, он, в собранном виде, представляет из себя куб 3x3x3 с разноцветными гранями. Как все знают, грани (и не только) можно крутить-вертеть, тем самым перемешивая цвета, – этот процесс для собранного кубика называется разбиранием. Стоит естественный вопрос: можно ли из возможного разобранного состояния собрать кубик? Ответ на этот вопрос положителен, но мы сейчас не будем вдаваться конкретно в математику этого факта.
Давайте лучше составим математическую модель самого кубика. Рассмотрим множество его допустимых преобразований (повороты, их композиции, итд), оно образует группу W по естественной операции композиция. Посмотрим на собранный кубик и пронумеруем наклейки от 1 до 48, как на рисунке, будем думать, что в каждой грани центральный квадратик неподвижен. Каждому такому преобразованию можно сопоставить подстановку из S_48 (таблицу, какое число куда перешло), причем получим инъективный гомоморфизм. Тогда по первой теореме об изоморфизме W изоморфна G - подгруппе S_48 – группе всех подстановок из 48 элементов. Эту группу G – группа кубика и будем изучать.
Так как группа W порождается 6-ю элементами - поворотами L, F, R, B, U, D граней, то тогда G тоже порождается 6-ю образующими подстановками. Она имеет просто чудовищный порядок 43 252 003 274 489 856 000 😳, но всё же конечный. Значит порядок каждого элемента конечен. Например, известно, что максимальный порядок элементов равен 1260, то есть если любое преобразование с какого то места повторить много-много (меньше 1260) раз, то вернёмся в позицию, откуда начали.
Кроме того, известно, что центр этой группы состоит ровно из двух элементов – тождественная подстановка и некоторая Σ. Так вот, этой Σ соответствует движение, переводящий собранный кубик в «суперфлип» – очень симметричный, смотри на рисунок, его дольше и сложнее всего собирать!
Также, известно, что коммутатор поворота двух соседних граней меньше переставляет «лишнего», поэтому многие алгоритмы сборки используют композицию этих коммутаторов. 😌
